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hdu2068—RPG的错排

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2068
此题的思路是错排+排列组合
问题1:什么是错排?

答:十本不同的书放在书架上。现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法?
这个问题推广一下,就是错排问题,是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
———摘自《百度百科》问题2:如何推导错排公式?
答:递推推导错排公式:

当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示,那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况:⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有D(n-1)种方法;
综上得到
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地,D(1) = 0, D(2) = 1.
—————–摘自《百度百科》问题3:这题该如何做?
答:关键点1.题目要求答对一半或以上的答案,那么利用错排,也就是错的答案在0~n/2之间,求出来再相加。
关键点2.比如5个女生,答错3个女生的名字,而这3个女生也有不同的组合,所以要用组合数乘错排数。
关键点3.当n为1时,答对是1,但是错排是0,所以要令sum(记录答对组数)初始值为1。附上ac代码:

    #include <stdio.h>
    __int64 comb(int n,int j)
    {
        int i,k;
        __int64 s = 1;
        __int64 x = 1;
        for (i=n; i>n-j; i--) s = s * i;
        for (k=1; k<=j; k++) x = x * k;
        return (s/x);
    }

    int main()
    {
        __int64 cp[30];
        int i,j,n;
        while (scanf("%d",&n)&&n)
            {
                __int64 sum = 1;  //注意初始为1(n=1是答对是1)
                cp[1] = 0;
                cp[2] = 1;
                for (i=3; i<=28; i++) cp[i] = (i-1) * (cp[i-1] + cp[i-2]); //错排公式
                for (j=1; j<=n/2; j++)
                    sum = sum + (cp[j] * comb(n,j));
                printf("%I64d\n",sum);
            }
        return 0;
    }
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